Всероссийская школьная олимпиада по математике (ВСОШ) ответы на все вопросы олимпиады с разбором для 4-6 классов 28 октября

1. Маршруты машины
Сколькими разными маршрутами машина может доехать из левого нижнего угла в правый верхний? Ехать можно только вверх или вправо.

Больше ответов на все ВСОШ у нас в телеграмме, присоединяйся, все бесплатно! – https://t.me/+FFzqvmIeDoQ4YTUy

• Решение и Ответ: [Требуется видеть сетку дорог. Решается комбинаторно, с помощью треугольника Паскаля или динамического программирования].

2. Сумма дробей
Подставьте вместо букв цифры так, чтобы сумма Г,А + Р,Н + И,Т + У,РА была максимальной. Одинаковые буквы — одинаковые цифры.

• Решение: Для максимизации суммы нужно, чтобы цифры в разряде единиц (Г, Р, И, У) были как можно больше (9,8,7,6), а цифры в разрядах десятых (А, Н, Т, Р, А) — тоже максимальными, но с учетом ограничений. Анализ показывает, что оптимальная расстановка: Г=9, Р=8, И=7, У=6, А=5, тогда Р=8 и А=5 уже заняты, для Н, Т нужно взять 4 и 3. Например: 9,5 + 8,4 + 7,3 + 6,85. Сумма = 31,25 (нужно проверить другие варианты).

• Ответ: [Точный максимальный результат требует полного перебора, но стратегия ясна].

3. Волшебные шкатулки (3 шкатулки)
Нужно разложить 5 предметов (алмаз, изумруд, ключик, перстень, жемчужина) по трём шкатулкам так, чтобы все надписи были ложны.

• Шкатулка 1: «Здесь нет алмаза», «Здесь лежит ключик».

• Шкатулка 2: «Эта шкатулка пуста».

• Шкатулка 3: «Здесь меньше трёх предметов».

• Решение:

  1. Чтобы надпись Ш2 «Эта шкатулка пуста» была ложна, в Ш2 должен лежать хотя бы один предмет.

  2. Чтобы надпись Ш3 «Здесь меньше трёх предметов» была ложна, в Ш3 должно быть 3 или больше предметов. Минимум 3.

  3. Всего предметов 5. Если в Ш3 минимум 3, то на Ш1 и Ш2 остаётся максимум 2. Ш2 не пуста (хотя бы 1 предмет). Ш1 может содержать 0, 1 или 2 предмета.

  4. Надпись Ш1 «Здесь лежит ключик» должна быть ложна => ключик НЕ в Ш1. Надпись Ш1 «Здесь нет алмаза» должна быть ложна => алмаз ДОЛЖЕН быть в Ш1.

  5. Итак, в Ш1 есть алмаз, но нет ключика. Ключик должен быть в Ш2 или Ш3.

  6. Попробуем положить в Ш3 три предмета. Тогда в Ш1 и Ш2 — два предмета. В Ш1 уже есть алмаз. Чтобы надпись Ш1 «лежит ключик» оставалась ложью, второй предмет в Ш1 не должен быть ключиком (например, перстень). Тогда в Ш1: алмаз, перстень.

  7. В Ш2 должен быть хотя бы один предмет. Оставшиеся предметы: ключик, изумруд, жемчужина. Если в Ш2 положить один предмет (например, ключик), то в Ш3 попадут изумруд и жемчужина — всего 2 предмета, что противоречит пункту 2 (в Ш3 должно быть >=3). Значит, в Ш2 должно быть 2 предмета? Но тогда в Ш1 и Ш2 будет 2+2=4 предмета, а в Ш3 останется только 1, что снова противоречит пункту 2.

  8. Значит, в Ш3 должно быть ровно 3 предмета. Тогда на Ш1 и Ш2 остается 2 предмета. Ш2 не пуста. Единственный вариант: в Ш1 — 1 предмет, в Ш2 — 1 предмет.

  9. Из пункта 4: в Ш1 лежит алмаз (1 предмет). Тогда в Ш2 лежит 1 предмет. Оставшиеся 3 предмета (ключик, изумруд, жемчужина, перстень) идут в Ш3. Но у нас 4 оставшихся предмета, а нужно 3. Противоречие. Значит, нужно положить в Ш1 больше одного предмета?

  10. Вернемся. Если в Ш3 3 предмета, а всего 5, то в Ш1+Ш2 = 2 предмета. Варианты: (Ш1=2, Ш2=0) — но Ш2 не может быть пустой. (Ш1=1, Ш2=1) — рассмотрели, не получается. (Ш1=0, Ш2=2) — но тогда в Ш1 нет алмаза, что делает надпись «Здесь нет алмаза» истинной, а надо ложь. Тупик.

  11. Значит, в Ш3 должно быть больше трёх предметов, т.е. 4 или 5. Если в Ш3 — 4 предмета, то на Ш1 и Ш2 — 1 предмет. Ш2 не пуста => в Ш2 1 предмет, в Ш1 — 0 предметов. Но если Ш1 пуста, то надпись «Здесь нет алмаза» истинна (алмаза действительно нет). А надо ложь. Не подходит.

  12. Если в Ш3 — 5 предметов, то Ш1 и Ш2 пусты. Но Ш2 не может быть пустой (надпись «пуста» станет истинной). Не подходит.

  13. Вывод: задача имеет решение только если допустить, что в шкатулке 3 лежит ровно 3 предмета, а в Ш1 — 2 предмета (включая алмаз), а в Ш2 — 0. Но это противоречит условию, что Ш2 не пуста. Вероятно, в исходной задаче есть опечатка или нюанс, который виден на изображении. Классическое решение для таких условий невозможно.

      4. Четырёхугольник из уголков
      У прямоугольного листа бумаги отрезали 4 угла и окунули их в жёлтую краску – получилось 4 жёлтых с двух сторон треугольника. Можно ли из этих треугольников составить следующий четырёхугольник?

      • Решение и Ответ: [Зависит от изображения конкретных четырёхугольников. Общий принцип: сумма внутренних углов четырехугольника равна 360°. Каждый уголок — прямоугольный треугольник, его острые углы в сумме 90°. Нужно проверить, можно ли из 4 таких наборов углов собрать 360°].

      5. За круглым столом (усложнённая версия)
      За круглым столом сидело несколько ребят. Они по кругу называли числа: 1, 2, 3… Тот, кто в первый раз назвал 5, на третьем круге получил номер 29.

      1. Сколько всего ребят сидело за столом?

      2. На каком круге встретился номер 100?

      • Решение:

        1. Разница между номерами одного и того же человека на первом и третьем кругах равна удвоенному количеству ребят (2N). То есть: 29 - 5 = 2N => 24 = 2N => N = 12.

        2. Чтобы найти круг, на котором назвали число 100, нужно найти, на каком “витке” от начала это происходит. Разделим 100 на количество ребят (12): 100 / 12 = 8 (остаток 4). Так как остаток не равен нулю, это значит, что они закончили 8 полных кругов и на 9-м круге назвали число 4. Следовательно, номер 100 был назван на 9-м круге.

      • Ответ:

        1. 12 ребят

        2. На 9 круге

      6. Грибники
      Таня нашла 3 гриба, Илья — 58 грибов, а все остальные ребята — по 12 грибов. Дети могут поделиться грибами так, что у всех станет поровну. Сколько детей ходило в лес?

      • Решение:

        1. Пусть всего детей n. Тогда общее количество грибов: 3 + 58 + 12 * (n - 2) = 61 + 12n - 24 = 12n + 37.

        2. Это число должно делиться на n без остатка. То есть (12n + 37) / n должно быть целым числом. Это можно представить как 12 + 37/n.

        3. Значит, 37 должно делиться на n. Делители числа 37: 1 и 37.

        4. n = 1 не подходит по смыслу (есть Таня, Илья и “остальные”). Остаётся n = 37.

      • Ответ: 37 детей

      7. Рамка для фотографий
      Рамка для двух прямоугольных фотографий состоит из 13 одинаковых прямоугольников. Периметр маленькой фотографии равен 88 см. Чему равен периметр большой фотографии?

      • Решение и Ответ: [Требуется рисунок. Общая идея: через соотношения сторон одинаковых маленьких прямоугольников рамки выразить стороны фотографий. Если, например, ширина малой фотографии равна a, а длина b, и известно, что 2(a+b)=88, то можно найти a+b. Далее, через a и b выражается периметр большой фотографии].

      8. Стая драконов
      Летела стая из 62 драконов. Среди них 7-головых было вдвое меньше, чем 5-головых, а остальные – 6-головые. У всех вместе было 355 голов. Сколько каких драконов?

      • Решение:

        1. Пусть 7-головых драконов x. Тогда 5-головых 2x. 6-головых: 62 - x - 2x = 62 - 3x.

        2. Составим уравнение по общему числу голов: 7x + 5*(2x) + 6*(62 - 3x) = 355.

        3. Упрощаем: 7x + 10x + 372 - 18x = 355 => (17x - 18x) + 372 = 355 => -x + 372 = 355 => x = 372 - 355 => x = 17.

        4. Тогда 5-головых: 2 * 17 = 34. 6-головых: 62 - 17 - 34 = 11.

        5. Проверка: голов всего: 17*7 + 34*5 + 11*6 = 119 + 170 + 66 = 355. Всё верно.

      • Ответ:

        • 7-головых: 17

        • 5-головых: 34

        • 6-головых: 11

      •