Олимпиада «Взлёт» ВСОШ для 9-11 классов: разбор сложных, ответы по математике задач и стратегия подготовки (28-30.09.2025)

♟️ Задачи по комбинаторике и логике

Больше ответов на все ВСОШ у нас в телеграмме, присоединяйся, все бесплатно! – https://t.me/+FFzqvmIeDoQ4YTUy

1. Шахматные короли
На шахматную доску размером 10×10 требуется расставить королей трёх цветов: красного, синего и зелёного. Какое максимальное количество королей можно разместить так, чтобы короли одного цвета не атаковали друг друга?

• Ответ: 50

2. Остров рыцарей и лжецов
На острове, где рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут, 883 гостя праздника рассадили за столики на 5 и 6 мест без свободных мест. Каждый заявил в блоге: «Не считая меня, за моим столиком сидит как минимум 4 лжеца». Определите количество 5-местных и 6-местных столиков.

• Ответ: 153 (5-местных), 1 (6-местный), 147 (лжецов) *[Прим.: вероятно, в ответе указаны три числа: кол-во 5-местных, 6-местных столов и общее число лжецов]*.

3. Квадратный трёхчлен
Корни приведённого квадратного трёхчлена x2+bx+cx2+bx+c — натуральные числа, а разность $c-b=23$. Найдите все возможные значения наименьшего корня. Запишите их в порядке возрастания без пробелов.

• Ответ: 3, 123 [Прим.: вероятно, ответы 3 и 12, записанные подряд].

5. Геометрия в треугольнике
В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина гипотенузы $AB$. На продолжении катета $AC$ за точку $C$ выбрана точка $D$, а на катете $BC$ — точка $E$. Точка $N$ — середина отрезка $DE$. Известно, что $MN=AM=5$ и ∠CBN=30∘∠CBN=30∘. Найдите длину отрезка $DE$.

• Ответ: 5

6. [Задача не представлена в тексте]

• Ответ: 11

7. Степень числа
Известно, что в записи числа N5N5 встречаются цифры 4, 7, 9 (каждая по одному разу), а также две двойки и две шестёрки. Найдите $N$ и само число N5N5.

• Ответ: 24; 191102976

8. Робот «Мультипликатор»
На доске написано число 3969000. Робот каждую минуту умножает его на одну из дробей — 4334​, 9559​ или 257725​ — но только если результат целый. Новое число записывается на доску. Определите, сколько раз робот применил каждую из дробей.

• Ответ: 9 (раз на 4334​), 4 (раза на 9559​), 3 (раза на ( \frac{25}{7} `) [Прим.: вероятно, ответы 9, 4, 3, 2, но контекст подсказывает, что это количества применений дробей].

📐 Задачи для 10 класса

1. Вероятность в забегах
Коля и Алиса проводят серию забегов. Вероятность победы Коли в одном забеге равна 0,2. Если же Коля выигрывает дважды подряд, то в следующем забеге он точно проигрывает. Какова вероятность, что из четырёх забегов Коля выиграет ровно три?

• Ответ: 0.0208

2. Сторона в треугольнике
В треугольнике $ABC$ угол $C$ в два раза больше угла $A$, $AC=16$, $BC=9$. Найдите длину стороны $AB$.

• Ответ: 15

3. Золотое сечение
Золотое число a=1+52a=21+5​​ является корнем уравнения x2−x−1=0x2−x−1=0. Найдите численное значение выражения a10−55aa10−55a.

• Ответ: 34

4. Расстановка фишек
На доске 7×8 требуется расставить максимальное количество фишек так, чтобы никакие две не были «близко расположенными» (достижимы за 1 или 2 хода, где ход — это движение по диагонали или ход шахматного коня). Какое наибольшее число фишек можно расставить?

• Ответ: 14

5. Многочлены и графики
Вася и Петя независимо заменили по одному коэффициенту в многочлене x2+4x+6x2+4x+6 на целые числа $a$ и $b$ соответственно (a≠ba=b). Графики полученных функций пересеклись в точках с абсциссами $x=0$ и $x=1$. Чему равен модуль разности $|a-b|$?

• Ответ: 2

6. Расстояние в треугольнике
В прямоугольном треугольнике $ABC$ (∠A=90∘∠A=90∘) точка $K$ симметрична $A$ относительно $B$, а точка $M$ — середина гипотенузы $BC$. Найдите $KM$, если AB=33AB=33​ и ∠BCA=30∘∠BCA=30∘.

• Ответ: 9

7. Последовательность чисел
Выписана последовательность натуральных чисел, среди которых 52% — нечётные. Сумма всех нечётных чисел в этой последовательности является квадратом целого числа, лежащим между 200 и 2000. Найдите все возможные значения первого числа в последовательности.

• Ответ: 25; 105 [Прим.: вероятно, это два варианта ответа].

8. Лабиринт Минотавра
Лабиринт Минотавра представляет собой прямоугольник 5×7… [Условие обрезано]

• Ответ: 52

🧮 Задачи для 11 класса

1. Шахматная доска с пешками
На доске 10×10 в центре стоят 16 белых пешек, образующих квадрат 4×4.

1. Сколькими способами можно поставить чёрного коня на свободную клетку так, чтобы он бил хотя бы одну пешку?

2. Какова вероятность этого события? Ответ выразите несократимой дробью.

3. Запишите числитель и знаменатель этой дроби.

• Ответ: 36, 3, 7 *[Прим.: 36 способов, вероятность 3/7]*.

2. Скорость собаки
Три собаки с постоянными скоростями бегут по круговому стадиону из одной точки. За время забега Полкан (27 км/ч) обогнал Маркиза 8 раз, а Рекс (19 км/ч) обогнал Маркиза 2 раза. Все финишировали одновременно. Найдите скорость Маркиза.

• Ответ: 16.3 (км/ч)

3. Делители числа 45
На карточках написаны все натуральные делители числа 45. Оля и Юля вытянули по одной карточке. Какова вероятность, что одно из выпавших чисел делится на другое?

1. Сколько всего карточек?

2. Запишите числитель получившейся несократимой дроби.

3. Запишите знаменатель получившейся несократимой дроби.

• Ответ: 6, 4, 5 *[Прим.: 6 карточек, вероятность 4/5? Требует проверки комбинаторики]*.

4. Угол в четырёхугольнике
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ на стороне $BC$ отмечена точка $E$. Углы ∠BAE=44∘∠BAE=44∘, ∠EDC=34∘∠EDC=34∘. Сторона $AD$ является касательной к описанным окружностям треугольников $ABE$ и $DCE$. Найдите величину угла $\angle AED$.

• Ответ: 39 (градусов)

5. Максимум дорог в стране
В стране 60 городов, некоторые соединены дорогами. Из столицы выходит 30 дорог. Известно, что если города A и B соединены, и B и C соединены, то соединены и A с C (транзитивность). Какое максимальное количество дорог может быть в такой стране?

• Ответ: 871

6. Длина ребра тетраэдра
В тетраэдре $ABCD$ углы $ABC$ и $ADC$ — прямые, $AC=3$. Чему может быть равна длина ребра $BD$?

• Ответ: 3 и 55​ [Прим.: два возможных значения].

7. Арифметический процесс
Серёжа начинает с целого числа $N$, затем вычисляет: N2N2, отнимает 40 и делит на 3. Если результат целый, процесс повторяется. Если число повторяется в тетради, процесс останавливается. Найдите все возможные начальные значения $N$.

1. Сколько вариантов ответа?

2. Чему равна сумма этих значений $N$?

3. Чему равно их произведение?

• Ответ: 2; 3; -40 *[Прим.: 2 варианта, их сумма 3, произведение -40? Требует проверки]*.

8. Квадратные трёхчлены
Илья записал четыре приведённых квадратных трёхчлена, отметил на оси их корни и соединил их отрезками. Эти отрезки попарно пересекаются. Сумма трёхчленов равна 4×2−40x+1004x2−40x+100, а их графики проходят через общую точку $A$. Найдите координаты точки $A$.

1. Абсцисса точки $A$.

2. Ордината точки $A$.

• Ответ: 5; 0

  1. Команды гимнасток

  В кружке занимаются 7 девочек. Для выступления на соревнованиях нужно сформировать команды по 2 или 3 человека. Все девочки должны участвовать, каждая — ровно в одной команде. Команды различаются только составом (порядок не важен). Сколько существует способов такого разбиения?

  • Ответ: 105

  2. Танцы на балу

  На балу шесть мальчиков танцевали с девочками (каждая пара — не более одного танца). Количество девочек, с которыми потанцевал каждый мальчик, оказалось шестью последовательными натуральными числами. Каждая девочка сказала, что танцевала со всеми мальчиками, кроме одного.

  • Ответ: 9 (девочек), 45 (танцев)

  3. Забеги на стадионе

  Илья и Дима проводят две тренировки.

  • Первый забег: Дима стартует первым, Илья — через 10 секунд. Через 30 секунд после старта Ильи Дима пробежал половину дорожки, а Илья — четверть.

  • Второй забег: Они стартуют одновременно с противоположных концов дорожки навстречу друг другу.

  Вопросы: Кто прибежит первым во втором забегу? На каком расстоянии от своего старта они встретятся? Через сколько секунд встретятся?

  • Ответ: Дима, 75 (метров от его старта), 1.67 (секунды) *[Прим.: вероятно, длина дорожки 150 м, встреча через 5/3 сек.]*

  4. Приветствия в секции

  Дима, пришедший на тренировку, поздоровался не со всеми. Он не поздоровался с четвертью ребят из секции (не считая себя). Серёжа (один из тех, с кем Дима поздоровался) сам поздоровался с одной пятой от числа футболистов, с которыми поздоровался Дима (опять же, не считая себя).

  • Ответ: 8 (всего в секции, не считая Диму), 2 (с кем поздоровался Серёжа), 23 (с кем поздоровался Дима) [Прим.: числа требуют проверки логики].

  5. Загадочное число

  Трёхзначное число N имеет ровно 6 натуральных делителей. Если записать его дважды подряд, чтобы получилось шестизначное число, у него оказывается 24 делителя. Найдите все возможные значения N.

  • Ответ: 343

  6. Кинотеатр: отличники и хулиганы

  Зал кинотеатра имеет схему 4×10 мест. На сеансе присутствуют отличники (всегда говорят правду) и хулиганы (всегда лгут). Каждый школьник заявил: «Рядом со мной сидит хулиган». Соседними считаются места, прилегающие по стороне или диагонали. Какое наибольшее число хулиганов могло быть в зале?

  • Ответ: 28